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复曲线逐桩坐标计算公式的推导及应用
曾过生 林桂銮
（广东冠粤路桥有限公司 广州 510630）
摘要: 利用广湛高速一复曲线坐标测设过程中的实例数据，通过数学分析和推导，得出求复曲线逐桩坐标的公式，此推导公式可作为我们道路测设中的一个范例来运用，有很强的指导意义。
关键词: 推导 复曲线 逐桩坐标 公式
1．引言
现代高等级公路的连接线、互通立交、匝道和城市道路的线型设计很多都采用了复曲线形式。复曲线在设计中的复核、校正和在施工放样中都要通过一种可行的计算方法才能实现，本文利用广湛高速一复曲线的实例数据，推导得出了求复曲线逐桩坐标的实用计算公式，由于在审图、施工放样过程中，可以用该公式求出复曲线内任意一点的坐标，具有很好的可操作性，方便了核对图纸和现场施工作业，审图和测量精度、质量得到了保证，因此该方法可作为我们道路测设中的一个范例来运用。
2．复曲线逐桩坐标计算公式的推导
2.1 实例数据
广湛高速公路一复曲线（如图），图纸中已知R1=150米，R2=60米，AB段为复曲线（回旋线组合型式）；A点坐标为x=68881.232，y=42197.281；B点坐标为x=68889.467，y=42236.967；θA=66。37′59.7′′，θB=93。58′51.6″；A点里程为TZK0+866.402；B点里程为TZK0+907.315，导求其它里程点坐标。
2.2 几个参数的计算
设新坐标系为x′o′y′，o′x′为横轴，o′y′为纵轴，A点上的切线与o′x′的夹角为βA，B点上的切线与o′x′的夹角为βB。
因AB段长度为907.315-866.402＝40.913（米）
根据回旋线方程1／R=CL，C=1／A2(其中L为AO′长度，A为回旋参数)，则：
1／150=CL…………………….. (1)
1／60=C（L+40.913）…………(2)
求解上述（1）、（2）方程组得：A=63.96，L=27.275。
因βA=L／2R1×180／π=5。12′32.9″，
βB=（L＋40.913）／2R2×180／π=32。33′24.8″。
所以o′x′的方位角为：（作图判断正号或负号）
а=66。37′59.7″－5。12′32.9″=61。25′27″
а=93。58′51.6″－32。33′24.8″=61。25′27″
由此可见a的计算是正确的。
2.3推导逐桩坐标计算公式
根据回旋曲线的坐标数学计算公式：
x′ =L(1－L4／40A4+ L3／3456 A3……) ……(3)
y′ = L3／6A2(1－L4／56 A4+ L3／7040 A3……) ……(4)
（其中L为o′点至某里程桩号点曲线长度，A为回旋参数）.
把A点处L=27.275，代入（3）（4）式可解得：
x′A =27.27×[1-27.2754/(40×63.964)+27.2753/(3456×63.963)]=27.252
y′A =27.2753/{6×63.962[1-27.2754/(56×63.964)+27.2753/(7040×63.963)]}=0.827
然后根据坐标变换公式：
x=xo′+ x′A cosа－y′A sinа………(5)
y=y0′+ x′A sinа+ y′A cosа………(6)
把A点（x,y）和（x′A，y′A）代入(5)、（6）方程组可解得o′点的坐标：
xo′=68868.9740， y0′=42172.9531
所以可得复曲线任意里程点的坐标推导公式为：
x=68868.9740+ x′cosа－y′ sinа………(7)
y=72172.9531+ x′sinа+ y′cosа ………(8)，其中a=61。25′27″
3．利用计算公式求复曲线的逐桩坐标
现利用此推导公式计算桩号为TZK0+870的坐标：
第一步，求出L=870-866.402+27.275=30.873米。
第二步，利用（3）（4）式求出x′=30.831，y′ =1.002
第三步，把x′、y′、a的值代入（7）（8）式可求出TZK0+870的坐标为： x=68882.669， y=42200.601。
同理，其他对应桩号的坐标计算结果如下:
TZK0+880： x=68886.007， y=42210.024。
TZK0+890： x=68888.388， y=42219.731。
TZK0+900： x=68889.547， y=42229.656。
为提高计算结果的准确性，提高工作效率和减轻计算的工作量，在实际应用中配合电子计算器以辅助工作。
1、设定函数变量，并给变量赋值。如上例，已知参数赋给相应代号的函数变量。其中，Z1=βA，Z2=βB，Z3=a，Z4=θA，Z10=XA，Z11=YA，L=Z0-KA（KA为点A的里程）。
2、计算：Z1=180×L/2πR1，Z2=（L+40.913）×180/2πR2，
Z3=Z4－Z1，Z5=L（1－L∧4/40A∧4+ L∧3/3456A∧3）；
Z6= L∧3/6A∧2（1 L∧4/56A∧4+ L∧3/7040A∧3）；
Z7=Z10－Z5cosZ3+Z6sinZ3，
Z8=Z11－Z5sinZ3－Z6cosZ3，
Z12=Z7+ Z5cosZ3－Z6sinZ3，
Z13=Z8+ Z5sinZ3－Z6cosZ3。
3、操作：准备工作就绪后，给变量L赋值（如TZK0+870），按EXE，计算器显示TZK0+870点的x坐标值，x=68882.669，再按EXE，显示TZK0+870点的y坐标值，y=42200.601。
4. 复曲线逐桩坐标计算公式的应用
利用上述推导的计算公式可根据实际需要求出复曲线内任意一点的坐标，以供我们利用。
4.1在复曲线设计中的应用
如上例，在设计中定出的参数后，利用本计算公式求出TZK0+880、TZK0+890、TZK0+900等点的坐标，并在实地分别把这些点放样于实地，核实放样点与实际地形是否相符，最后确定曲线的参数，如果不理想，则重新调整参数使它达到最佳的效果。如果实地情况复杂或对设计曲线的走向有较高的要求时，则这一校正过程显得尤为重要。此方法在设计的选线中有一定的指导意义。
4.2在施工前图纸审查中的应用
在上述实例中，如果图纸已给出TZK0+880的坐标值（x=68886.007；y=42210.024），则利用该方法计算出对应桩号的坐标值，看两者是否一致，以达到在施工前对设计图中的数据进行复核的目的，提高施工的准确性和效率。此方法在施工前对图纸的复核有一定的实际意义。
4.3在施工中的应用
上实例中，设计图没有提供TZK0+880、TZK0+890、TZK0+900点的坐标，而实际施工时要用到这些点的坐标，可用本推导公式计算出这些点的坐标值来放样实地，指导施工。一般来说，设计图中提供的坐标点数量是较少的，不能满足实际的需要，本文所推导的复曲线逐桩坐标计算公式可以根据实际需要计算出复曲线内任意一点的坐标，以帮助我们解决实际的问题，在施工放样等道路测设中起到一定的作用。
4.4 在计算面积中的应用
利用本公式可以准确地计算出含复曲线的几何图形的面积，取的点越多，计算的面积越准确。
4.5计算公式应用时应注意的地方
该计算公式在实际运用中有很多的优点，但在应用时应注意，在计算o′x′方位角时需作图判断βA、βB角的取值（正、负值），当θA、θB属于第一三象限角时βA、βB取负值；当θA、θB属于第二四象限角时βA、βB取正值。
5、结语
在广湛高速的道路测设中运用此方法在复核图纸、施工放样和复核施工人员的测量资料中都取得了一定的作用，通过实践验证了此方法在道路测设中有一定的实用意义，值得推广。
本人基本资料：
性别：男
学历：大学本科
职称：助理工程师
联系电话：13302255511，83731268
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